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Tags | Grundintegrale, Rechenregel

Partielle Integration und Rechenbeispiele

Veröffentlicht am 18 Juli 2010 von Frank Heldtis

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Herleitung – Partielle Integration

Grundlage für den Ansatz der partiellen Integration bietet die Umkehrannahme, dass die Ursprungsgleichung {(u(x)v(x))prime } als {u prime (x)v(x) + u(x)v prime (x)} geschrieben werden kann.
Dies bedeutet folgenden Zusammenhang: {(u(x)v(x))prime } = {u prime (x)v(x) + u(x)v prime (x)}

Die Integration der Ursprungsgleichung führt zu jenem Integral:
u prime (x)v(x) = (u(x)v(x))prime - u(x)v prime (x)
int{}{}{u prime(x)v(x)} = int{}{}{(u(x)v(x))prime} - int{}{}{u(x)v prime(x)}
int{}{}{u prime(x)v(x)} = u(x)v(x) - int{}{}{u(x)v prime(x)}

Deren folglich lautet die Regel der partiellen Integration befolgt:

int{a}{b}{f(x)g prime(x) dx} = [f(x)g(x)]matrix{2}{1}{b a} - int{a}{b}{f prime(x)g(x)dx}

Rechenregel – Partielle Integration

Die Berechnung des Integrals I wird befolgt durchgeführt:

I = int{}{}{u prime(x)v(x)dx}

Man wähle für das Glied den Term der Gleichung, von welchem einfacher die Stammfunktion ermittelt werden kann.
Man vergewissert sich, dass die Ableitung zu existiert

Rechenbeispiel – Partielle Integration

Gesucht ist das Integral I:

$I = int{}{}{x^2sin(x)dx}$

Man erinnert sich an die Rechenregel:

I = int{}{}{u prime(x)v(x)dx}

daraus folgt dieser Zusammenhang:

u prime(x) = sin(x); v(x) = x^2 doubleright u(x) = -cos(x); v prime(x) = 2x

In die Gleichung eingesetzt:

$I = int{}{}{x^2sin(x)dx} = -cos(x) x^2 + int{}{}{2x cos(x)dx}$

Nach dem ersten Rechengang wurde bereits ein Integral berechnet. Es muss jedoch ein weiteres per partieller Integration berechnet werden.

2int{}{}{x cos(x)dx}

mit:

u(x) = sin(x); v(x) prime = 1

2int{}{}{x cos(x)dx} = sin(x)x - int{}{}{1sin(x)dx=sin(x)x+cos(x)+C}

Damit folgt als Ergebnis:

$I = int{}{}{x^2sin(x)dx} = 2(sin(x)x+cos(x)+C)-cos(x) x^2$

Das Ergebnis könnte man nun weiter vereinfachen, es wird jedoch in diesem beispiel darauf verzichtet.

Rechenbeispiel 2 – Partielle Integration

$I = int{}{}{x^2ln delim{|}{x}{|}dx}$

Man erinnert sich an die Rechenregel:

I = int{}{}{u prime(x)v(x)dx}

daraus folgt dieser Zusammenhang:

u prime(x) = x^2; v(x) = ln(x); v prime(x) = 1/x; u(x) = 1/3x^3

In die Gleichung eingesetzt kommt man auf das Ergebnis:

I = 1/3x^3(ln(x)-1/3)+C

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